Да, корректно писать строчными: студенческий совет.
Корректно: допустить к выборам, до выборов.
Вариант без предлога невозможен. Требуется либо предлог по (как у Вас), либо слова в области: специалист в области информационной безопасности
Вы имеете в виду Всероссийскую олимпиаду школьников? С большой буквы.
Корректное написание: Российская держава.