Правильно: может проводиться.
Верно: занятия русским языком (в значении 'изучение языка') и занятия по русскому языку (в значении 'учебное время, посвященное русскому языку; уроки, лекции и т. п.').
Оба варианта правильны. Слова надо и нужно синонимичны и взаимозаменяемы в любых контекстах.
1. Правильно со строчной. 2. Корректно: меча громы и молнии.
Предложение построено некорректно. Возможны, например, варианты: На занятии понадобится пластилин и Для занятия понадобится пластилин.
Правильно: Список учащихся, пропускающих занятия по ... дисциплинам.
Корректно: В пятнадцатилетнем возрасте он поступил в музыкальное училище по классу скрипки.
Первая часть сложных слов мини- присоединяется дефисом: мини-система.
Возможны оба варианта в зависимости от значения, ср.: мое хобби – занятия аэробикой (т. е. систематические, целенаправленные, регулярные). Но: иду на занятие по аэробике (т. е. одно конкретное занятие).
Вряд ли такое употребление можно назвать грамотным.
