Сейчас следует писать эту должность строчными буквами.
Это сочетание пишется строчными буквами, если оно не является полным официальным названием документа.
Возможно написание с прописной (в офиц. документах) и со строчной буквы (в остальных случаях).
Корректно написание со строчной буквы: так пишут в официальных документах, регламентирующих проведение ЕГЭ, и такова современная словарная фиксация.
Да, правильно с прописной: Государственный секретарь.
Правильно: государственный музей-заповедник (прилагательное государственный относится к обеим частям наименования "музей-заповедник").