Правильно с тире: Республика Северная Осетия – Алания.
Если слово республики стоит в форме множественного числа, корректно написание со строчной буквы: республики Кабардино-Балкария, Северная Осетия, Дагестан.
Правильно: Федеративная Республика Германия.
Оба сочетания возможны. Чтобы дать точный ответ, нужно знать контекст.
Как неофициальное название субъекта Российской Федерации - Республика Чечня.
Слово республика пишется с большой буквы, слово Карелия склоняется: ...в республике Карелии.
В официальных названиях государств и государственных объединений все слова, кроме служебных, пишутся с прописной буквы: Сирийская Арабская Республика.
В нормативных документах принято: в Республике Бурятия.
Верно: в Республике Ингушетия.