Провести квиз — несогласованное определение, образующее вместе с существительным словосочетание: идея (какая?) провести квиз. Соответственно, знаки препинания в предложении не требуются. Пунктуационное оформление несогласованных определений, выраженных инфинитивом, описано в параграфе 60 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
Запятые поставлены правильно.
Корректно: По идее, должны подойти, насчет длины не уверен.
Запятая уместна. Слова по существу могут выделяться как вводные в знач. 'в сущности говоря'.
Двоеточие не требуется. Названные слова можно выделить курсивом или кавычками.
Запятая поставлена правильно.
Верно: повышать компетентность (уровень знаний), расширять компетенцию (круг вопросов, полномочий). Оба сочетания не являются заменой сочетанию "повышать квалификацию".
В данном случае сочетание не спеша можно считать наречием.
