Если автор связывает оба деепричастных оборота с глаголом отливали, то они однородны. Если автор связывает второй деепричастный оборот с глаголом украшали, они не однородны. В приведенном контексте ничто не препятствует ни тому, ни другому.

Возможно и слитное, и раздельное написание в зависимости от того, какой смысл автор вкладывает в эти слова. Слово нечасто следует писать слитно, если оно легко заменяется синонимом редко. Раздельное написание лучше выбрать, если автор интонационно подчеркивает противопоставление.

Порядок разбора слова по составу хорошо описан и проиллюстрирован в пособии Е. И. Литневской. Формообразующие морфемы выделить достаточно легко, если опираться на знания о формообразовании глагола (см. главы об инфинитиве и спряжении). В приведенных Вами словах есть одна трудность: в формах глагола взять происходит чередование: взя // возьм (ср., например, взять, взял, возьму, возьмет, возьми).  Оно объясняется историей слова. Глагол взять образовался с помощью приставки, которая сейчас имеет форму воз- (вз-), и корня со значением 'брать', следы которого мы находим во множестве других слов современного русского языка, например: иметь, принять, внимание. 

Если речь о купюре номиналом десять рублей, то кавычки не нужны: в руке была мятая десятка. Если говорится о десяти тысячах, то решить этот вопрос должен автор (точнее, автор должен решить, будет ли читателю из контекста понятно значение слова "десятка" при отсутствии кавычек).

Словарная фиксация – Артек (без кавычек). См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012. Без кавычек это название дается и в «Толковом словаре языка Совдепии» (СПб., 1998).

Кавычки уместны, если есть родовое слово: международный детский центр «Артек».

Оба варианта корректны, но они различаются по смыслу: если автор намерен усилить отрицание (например, возражает кому-то, кто говорит: «Это правильно»), то верно раздельное написание; если автор утверждает признак, то верно слитное написание. См. параграф 149 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Оба знака корректны, но различаются по смыслу. Если автор намерен установить сопоставительные (противительные) отношения между частями бессоюзного сложного предложения (такие отношения выражаются союзами а или но), требуется тире: Ушла война — осталась память. Если автор намерен установить между ними отношения перечисления, допускающие расширение ряда (что уместно отметить многоточием), ставится запятая: Ушла война, осталась память... 

В этом предложении написание (не)важно зависит от контекста и намерений автора. Слитное написание (неважно) используется, если автор намерен подчеркнуть незначительность, отсутствие важности чего-то. Раздельное написание (не важно) подходит, если автор намерен подчеркнуть отрицание важности, например в контексте возражения или противопоставления. См. параграф 149 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

1. Постановка точки с запятой допустима. Также в первом примере можно поставить запятую, выбор делает автор текста. Рекомендуем перестроить предложение так, чтобы избежать повтора однокоренных слов дует и раздувая. 2. Обратите внимание, что перед какой к чему идет нужна запятая. Во втором предложении точка с запятой поставлена верно. В третьем предложении можно поставить запятую или точку. Выбор делает автор текста.