Вариант ходить за водой стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи.
Употребление этого китайского названия в русском языке сопровождается родовым варьированием. Как можно судить по научным, публицистическим и художественным текстам, авторы принимают во внимание род опорного слова, например: оружие, меч, алебарда. Не исключено, что знатоки учитывают принадлежность мужского имени Гуань. Как представляется, автору можно рекомендовать принять одно (не вариантное) грамматическое «решение» и его воплощать в тексте.
Оба варианта верны, хотя несколько различаются по смыслу.
Это существительное женского рода.
Написание слов можно проверять в наших электронных словарях (окно «Искать на Грамоте», набрать, например, *лечебница).
Форма предложного падежа: в аэропорту (с предлогом в – только местное значение), об аэропорте (изъяснительное значение).
Верно: специализироваться по социологии.
