Запятые в этом предложении не нужны.
Запятая перед определительным оборотом после определяемого существительного нужна: Организация, выставившая счет.
Запятая ставится, поскольку сочетание бедные девочки — поясняющее приложение к местоимению-подлежащему они. Это сочетание невозможно рассматривать как вводную конструкцию, потому что вводные конструкции не называют, даже оценочным образом, предметы, лиц и т. д.
Запятая не нужна.
Запятая не нужна, обстоятельство в начале предложения (по нажатию) не требует обособления.
Единого ответа на все случаи употребления производного предлога согласно дать невозможно. Обстоятельственные обороты с производными предлогами могут обособляться или не обособляться в зависимости от разных условий. Так, они обычно обособляются, если находятся не в начале и не в конце предложения, например (позволим себе немного перестроить исходное предложение): Начальнику...ФИО организовать, согласно плану, проведение работ. Здесь оборот с предлогом согласно близок к вводной конструкции, указывающей на источник информации.
В приведенном Вами примере сочетание находится в конце предложения. Такой порядок слов указывает на то, что важна не сама по себе организация проведения работ, а их организация согласно плану, то есть на обстоятельственный оборот падает логическое ударение. Значит, в данном случае запятая не нужна: Начальнику...ФИО организовать проведение работ согласно плану.
Сочетание по информации (кого, чего, чьей) является вводным. Оно относится к группе вводных конструкций, указывающих на источник сообщения. См. пункт г) в примечании 1 к параграфу 91 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Верно, пояснительное определение отделяется от поясняемого одиночной запятой. См., например, пункт 10 параграфа 10.1 справочника Д. Э. Розенталя по пунктуации.
Запятая нужна перед распространенным определением после определяемого слова: Не обрабатывать поверхности, чувствительные к действию спиртов.
Предложение нуждается в изменении порядка слов: дополнение у родственников нужно поставить ближе, чем обстоятельство в квартире, к причастию приобретен: Пейзаж приобретен у родственников И. Э. Грабаря в квартире художника по Ломоносовскому проспекту в г. Москве. Обратите внимание, что приложение — название города склоняется.
