Правильно: самодвижущаяся повозка.
Для точного ответа требуется контекст. Скорее всего, кавычки нужны, так как словарное значение слов живой уголок — "специальное место (обычно в учреждении), где содержатся животные, птицы", а в Вашем случае эти слова используются в особом, условном значении. Кавычки точно нужны, если Вы хотите подчеркнуть ироническое значение этого сочетания.
Такое употребление возможно.
Да, следует.
См. ответ 282774.
Согласно словарям, оба варианта верны. Если Вы боитесь, что возникнет двусмысленность (слово просчет также имеет значение "ошибка в подсчете"), используйте вариант расчет суммы.
Правильно в официальной речи: новый губернатор. В разговорной речи - новая губернатор.
Правильно: апарт-отель, спа-комплекс. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Мужской род уместен в строгой деловой речи, где важно сообщить о должности безотносительно к полу (например, в приказе: назначить исполняющим обязанности Иванову...). В обиходной письменной и тем более устной речи выбирается женский род.
