Следует писать с большой буквы: Герой Российской Федерации.
Правило таково: пишутся через дефис имена прилагательные, образованные от существительных, пишущихся через дефис. Правильно: хай-тек – хай-тековый. Прилагательное от Гран-при нормативными словарями русского языка пока не зафиксировано, но если его образовывать, то писать необходимо через дефис.
В зависимости от контекста возможно слитное и раздельное написание.
См. ответ на вопрос № 258976.
Оба варианта возможны. Раздельное написание (не доволен) подчеркивает отрицание.
Верно: братья-месяцы.
См. ответ на вопрос № 272369.
Правильно: извозиться в грязи.
В случае если необходимо написать именно указанное просторечное слово, то верно: извозюкаться. Проверочное слово, например, (он) возится.
Правильно раздельное написание.
Правильно дефисное написание.
