Слово неукоснительный не является родственным со словамами, которые имеют чередующиеся корни -кас-/-кос- (касаться, коснуться и т. п.). Правило выбора гласной буквы в корнях -кас-/-кос- на это слово не распространяется.
Этимологический корень в слове неукоснительно ― косн- (от късьнъ со значением ‘медленный’ ― перевод на церковнославянский греческого слова βραδύς), однако семантическая связь с этим корнем утеряна. Современные словообразовательные словари рассматривают слово неукоснительный как непроизводное, с корнем неукоснительн-. Производные родственные слова: неукоснительно и неукоснительность.
В слове белорус корень рус-, а в словах малоросс, великоросс корень росс-.
Это разные корни, исторически существование двух корней связано с разными наименованиями страны: Русь и Россия.
Подробнее о двух наименованиях страны можно узнать на сайте gramota.ru. См. «Словарь-справочник трудностей русского языка» Ю. А. Бельчикова, О. И. Ражевой: https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/slovar-trudnostey/rossiyskiy-i-russkiy.
В современном русском языке в слове заползать выделяется корень -полз-.
Выделение корня в слове подвергнуть зависит от научного подхода к свободным и связанным корням.
Свободными называются корни, которые могут употребляться без сопровождения словообразовательных аффиксов. Свободные корни совпадают с непроизводной основой слова. Например, свободными являются корни окн-, бег-, прав-; они встречаются как в сопровождении аффиксов в составе производных основ (подоконник, побег, направо), так и сами по себе в составе непроизводной основы (окно, бег, правый).
Корни, которые не могут употребляться без сопровождения словообразовательных аффиксов, называются связанными. Например, связанными являются корни ул-, изол-, слад-; они встречаются только в сочетании со словообразовательными аффиксами (уличный, улица, переулок; изоляция, изолировать, изоляционный; сладость, сладкий, услада).
В слове подвергнуть корень является связанным. А. Н. Тихонов считает слова со связанными корнями непроизводными, так как они, в отличие от свободных корней, не имеют производящих, несмотря на наличие словообразовательных аффиксов. Соответственно, по А. Н. Тихонову, слово подвергнуть является непроизводным и имеет корень подверг-.
Возможность вычленения связанных корней была обоснована Е. А. Земской, по мнению которой связанный корень выделяется в тех случаях, когда слово с таким корнем входит в двойные ряды соотношений: в ряд слов с тем же корнем и в ряд слов с тем же аффиксом. Если пользоваться этим критерием, в слове подвергнуть вычленяется корень верг-.
По основному правилу тире не требуется.
В обоих случаях должно писаться О: корябать, накорябать. Это однокоренные слова (глаголы, образующие видовую пару), они должны писаться единообразно. К сожалению, в "Толково-словообразовательном словаре" Т. Ф. Ефремовой эта норма нарушается.
Вы правы, это омонимичные корни.
