В названиях войн с прописной буквы, как правило,  пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные: Японо-китайская война, Русско-японская война, Англо-бурская война, Первая мировая война, Вторая мировая война, Война за независимость (в США), Война Алой и Белой розы, Война Севера и Юга (в США).

Давайте к здравому смыслу обратимся. Когда мы говорим "шел девяностый год", мы не имеем в виду "восемьдесят девятый с половиной", не так ли? (Хотя, говоря о возрасте человека, мы можем иметь это в виду.) Точно так же и "девяностые" - это годы с 90-го по 99-й.

1. Всероссийский пишется с прописной буквы как первое слово в названиях обществ, учреждений, органов власти, партий, праздников, общественных мероприятий и т. п., например: Всероссийский конкурс на звание «лучший учитель года», Всероссийская федерация волейбола, Всероссийский центральный исполнительный комитет.

2. Опечатки в словах Олимпийских и всероссийских, остальное верно.

Судя по приведенным Вами ссылкам, "многие современные и старые словари" - это 22-е издание "Толкового словаря русского языка" С. И. Ожегова (и издание 1992 года)?

Но в этом словаре у "похудания" совсем иное значение - "появление худобы" (пример - болезненное похудание), а не "диета". Что оправданно.

Рецепт простой: нужно пользоваться современными изданиями орфографических словарей. Меняется практика письма, первыми на изменения реагируют переиздания орфографических словарей, реакция составителей свода правил в этом случае гораздо медленнее (напомним, что ныне действующий свод правил правописания принят в 1956 году и во многом уже не отвечает современной практике письма).

Обозначение года тоже является частью названия (оно выступает в роли неизменяемого приложения, относящегося к названию), поэтому должно быть внутри кавычек. Если название выставки состоит из одного слова, ставится дефис, если же название состоит из нескольких слов, необходимо тире: выставка «Туризм-2015», но выставка «Путешествия и туризм – 2015».

Правильно: Уотергейтское дело, Уотергейтский скандал, Уотергейт – о скандале в США в 1972 году. При употреблении в переносном значении 'политический скандал, вызванный неблаговидными действиями правящей верхушки' правильно строчными без кавычек: уотергейт. Cм.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.

Современная письменная норма: естественно-исторический. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.

Слитное написание, предусмотренное «Правилами русской орфографии и пунктуации» 1956 года (и отраженное в некоторых словарях до сих пор), не соответствует нынешней практике письма.

Да, такая форма деепричастия возможна. Например: Впрочем, научась в один день наблюдать ее страшную проницательность, я видел, что... [Н. С. Лесков. Детские годы (1874)]; Если, научась ремеслам и искусствам, вы обольститесь приманками роскоши европейской, вспомните только, чем занимался Петр [Д. Н. Каралис. Дневник (2009)] и т. п. 

Верно написание со строчной буквы: В этом году на севере Сахалина изобилие грибов и ягод. Живем на севере Сахалина. Весна полноправно вступила в свои права на севере Сахалина. Сочетания северный Сахалин и южный Сахалин тоже пишутся со строчной буквы, поскольку не являются официальными названиями административных единиц.