Верно написание: карате, карате-до. Слово карате испытывало колебания в написании (что вполне естественно для недавно заимствованного слова), и в ряде словарей было зафиксировано написание каратэ, в том числе и в «Толково-словообразовательном словаре»  Т. Ф. Ефремовой (2000), электронная версия которого размещена на нашем портале. Сейчас такое написание нормативным не является.

В русской речи произнести звук [о] после мягкого согласного (который и обозначается на письме буквой ё) в безударной позиции весьма и весьма нелегко, поэтому мы бы рекомендовали произношение [тэ], которое указано как нормативное в том числе и в «Словаре имен собственных русского языка» Ф. Л. Агеенко (2010).

В неспециальных текстах названия сортов растений, овощей, фруктов заключаются в кавычки и пишутся со строчной буквы (в том числе и имена собственные): слива «кубанская легенда», «стенлей».

В специальной литературе в названиях сортов растений, овощей, фруктов, цветов первое слово (и все имена собственные) пишется с прописной буквы: слива Кубанска легенда, Стенлей.

Не обособляются определения, стоящие после определительных местоимений (в том числе весь) и образующие с ними единую группу (ударение падает на определение). Запятая после все не требуется.

Что касается второго вопроса, то не вполне ясен смысл слов по легенде учений. Если они указывают на источник сообщения, то могут быть вводными и обособляться.

Носитель фамилии прав. Фамилии вообще лучше склонять без выпадения гласного, т. к. они выполняют в том числе юридическую функцию. В тех же случаях, когда фамилия совпадает с нарицательным существительным, надо использовать любую возможность для разграничения фамилии и омонимичного ей нарицательного существительного. В данном случае такая возможность – сохранение гласного при склонении фамилии.

Форму родительного падежа Помпеев рекомендуют «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко и «Словарь трудностей русского языка для работников СМИ» М. А. Штудинера. Однако в «Грамматическом словаре» А. А. Зализняка указано, что название Помпеи склоняется по образцу слова статуя во множественном числе. Т. е. по Зализняку родительный падеж – Помпей.

Правило о постановке тире в бессоюзном сложном предложении здесь «не работает»: рассматриваемое предложение – сложноподчиненное. Однако и в сложноподчиненном предложении для интонационного отделения главной части от придаточной допускается постановка тире вместо запятой, в том числе если главной части предшествует придаточная изъяснительная, уступительная или условная. Вы имеете право поставить тире в этом предложении.

При использовании интервала в этом случае нужно употреблять форму множественного числа: Он закончил написание своего романа около 1910–1911 годов и ...закончил в 1910–1911 годах. В этом контексте можно использовать разделительный союз, тогда существительное стоит в единственном числе: Он закончил написание своего романа около 1910 или 1911 года.

Если это вопрос о падеже, здесь действительно необходим творительный падеж прилагательного или причастия. В подобных конструкциях прилагательное или причастие (при котором могут быть зависимые слова) находится в двойной зависимости: в падеже — от глагола, в числе и роде — от существительного: Они вешают флаг обращенным вверх (какой-либо частью); Знамя повесили перевернутым.