Верно: первый двадцать один день и первый тридцать один арбуз. Прилагательное (порядковое числительное) согласуется не с составным числительным, а с существительным, которое имеет форму единственного числа.

Предпочительно использовать форму множественного числа: Продукция экологически и социально ответственных компаний также сильнее привлекает покупателей, считают 71 % опрошенных.

Мы уже отвечали на этот вопрос. См. 250932.

Во втором предложении, как и в первом, уместна форма множественного числа сказуемого для подчеркивания активности и раздельности действующих лиц: В нём приняли участие две тысячи семей...

Для корректного употребления мы как раз рекомендуем избегать подобной формулировки. Но если вы на ней настаиваете, использование формы среднего рода единственного числа будет чуть менее некорректным.

Если обособленное определение стоит после счетного оборота, включающего два, три, четыре, оно чаще употребляется в форме именительного падежа множественного числа: Работали четыре лагеря, принявшие 900 детей.

Да, род в таком случае указывается. Но следует помнить, что у существительных, не имеющих форм единственного числа (ножницы, сливки), род определить нельзя. Они вне родовой характеристики.

Переменится – форма 3-го лица единственного числа глагола перемениться. Это одно и то же слово в разных формах. В словарях слова даются по начальной форме (у глаголов – инфинитив).

Слово измерение лучше употребить в форме единственного числа: Специальное оборудование для криминалистических и дактилоскопических исследований, осмотра труднодоступных мест, измерения скорости полета пуль, трасологии мелких предметов, визуализации голограмм.

Бензин, топливо –  вещественные существительные. Такие слова употребляются, как правило, только в единственном числе. Форма множественного числа неупотребительна, но теоретически возможна в профессиональной речи в значении сортов вещества.

Если между однородными подлежащими стоит разделительный союз или и одно из подлежащих имеет форму множественного числа, сказуемое ставится во множественном числе: ...который установят правительство или региональные органы.