Написание регулируется правилом: в неофициальных устойчивых, в том числе образных, названиях государств и городов с прописной буквы пишется первое (или единственное) слово, а также (если они есть) собственные имена. Правильно: Город большого яблока. Ср.: Вечный город (о Риме), Белокаменная, Первопрестольная (о Москве), Северная Пальмира (о Петербурге).
Род этой аббревиатуры пока неустойчив:
Словарь трудностей русского языка
БРИКС [брикс], нескл., ж. — группа из пяти стран: Бразилия, Россия, Индия, Китай, Южно-Африканская Республика.
БРИКС [брикс], нескл., ср. — Бразилия, Россия, Индия, Китай, Южно-Африканская Республика — обобщённое наименование группы стран с быстрорастущей экономикой.
Поскольку главным героем трагедии «Моцарт и Сальери» является не только Сальери, обособление имени собственного как поясняющей конструкции здесь не уместно, а единственно возможным представляется вариант без знаков препинания: В трагедии «Моцарт и Сальери» главный герой Сальери неожиданно для самого себя стал завистником.
Орфографически правильное написание — Российский международный олимпийский университет. В составных названиях организаций с большой буквы пишется только первое слово (и имена собственные, входящие в название).
Видимо, в документах придется писать в соответствии с уставом, но за пределами юридически значимого контекста стоит придерживаться написания по орфографическому правилу.
1. Кавычки нужны, если есть родовое слово: термин «эффект бабочки», понятие «эффект бабочки». Если родового слова нет, кавычки факультативны.
2. Корректно: Майнерс-пик. Ср.: Ильмень-озеро, Москва-река, Сапун-гора, Согне-фьорд, Уолл-стрит. Пишутся через дефис названия, представляющие собой сочетание собственного имени с последующим родовым нарицательным названием.
Допустимо написание Великая теорема Ферма и Малая теорема Ферма с прописной буквы, поскольку это собственные названия теорем, хотя в специальной литературе малая теорема Ферма чаще всего пишется со строчной буквы. Остальные понятия следует писать со строчной буквы: метод факторизации Ферма, спираль Ферма, точка Ферма, числа Ферма.
Деление слова на слоги, действительно, связано с разными научными теориями слога. Общепринятые школьные правила слогораздела см. здесь: http://www.gramota.ru/book/litnevskaya.php?part1.htm#7
Это зависит от стиля текста. В научном или официально-деловом тексте, конечно, следует использовать знак %, а в текстах художественной и близкой ей литератур уместно использовать словесную форму.
Возможны варианты. В научном тексте: В бурятском языке есть слово сэбэр, означающее 'чисто', 'прекрасно'.
В публицистическом тексте: В бурятском языке есть слово "сэбэр", означающее "чисто", "прекрасно".
Строго говоря, нормативным следовало бы признать вариант Вряд ли об этом думал молодой врач (см. правила). Но если из контекста неясно, что речь идет о женщине, а пишущему важно это подчеркнуть, то единственный способ (учитывая, что в предложении нет имени собственного) – написать Вряд ли об этом думала молодая врач.
