Спешил быстро? Может быть, спешил ответить или хотел (старался) ответить быстро?
Правильно: быстро меняющийся мир.
Правильно: три глобальные проблемы быстрой моды.
Оба варианта правильны: относительно его и относительно него.
В значении 'затвердеть, застыть (о вяжущих, клейких веществах)' употребляется глагол схватиться: клей быстро схватывается.
В данном случае рекомендуем писать слитно.