Возможно как слитное, так и раздельное написание. При слитном написании утверждается неясность, при раздельном – подчеркивается отрицание (отрицается ясность).
Корректно: Надеюсь, дежурство будет спокойным и ничего не случится.
Ошибки нет. Глагол ложиться (форма 3-го лица ложится) существует.
Написание слов правильное.
Плоды были не на деревьях, не между ними и не на дороге.
На выходных – разговорно-просторечный вариант, допустимый в непринужденной речи. Общеупотребительно и нормативно: в выходные.