Тире между подлежащим и сказуемым, которые выражены существительными в форме именительного падежа, обычно не ставится, если перед сказуемым стоит отрицание не: Инспектор ДПС не медик. Но если автор текста хочет логически и интонационно подчеркнуть сказуемое, он вправе поставить тире.
Нет, запятая не нужна: слово Катя в этом предложении является подлежащим.
Да, домашним именем Катя называют и Катерину, и Екатерину.
Прямая речь внутри авторских слов верно оформлена в первом варианте.
Кани, Кане, Каню, Каней (или Канёй), о Кане.
Запятая не нужна, т. к. оборот с как входит в состав сказуемого.
Да, запятая поставлена правильно.
В непринужденной разговорной речи пошли – не ошибка, так можно говорить.
Вставная конструкция а это была, конечно, она выделяется тире или скобками, запятые не нужны: Катя — а это была, конечно, она — позвонила в дверь. Катя (а это была, конечно, она) позвонила в дверь.
Орфографически правильно: иппотерапия.
