См. ответ на вопрос № 282774.
Лучше: заведующим... назначена.
Корректное название должностей: заведующий отделом обслуживания, заведующий читальным залом. Соответственно в контексте: принята на должность заведующего отделом обслуживания; принята на должность заведующего читальным залом.
Корректно: ...в лице заведующей Кузнецовой Антонины Аркадьевны, действующей на основании Устава.
Законно и так и так. Просто вариант с формой мн. ч. (директоров) исключает ошибочное прочтение. Тем самым, используя форму мн. ч., вы проявите заботу о читателе.
Лучше написать заместителям директоров (иначе можно подумать, что это обращение к нескольким заместителям одного директора).
Корректно: сын заведующей канцелярией.
Корректно: заведующей детским садом Орловой Л. В.
Правильно: заведующей медиатекой.
Возможны оба варианта, но лучше: заведующей (если далее следует имя и фамилия заведующей).