Верно: стесняться кого-чего. Глагол требует родительного падежа: стеснялась Вики.
Правильно: Данилу (от Данил) и Даниле (от Данила).
Толковый словарь под редакцией Д. Н. Ушакова издавался с 1935 по 1940 гг. Он отражает орфографию до принятия «Правил русской орфографии и пунктуации» 1956 г. Современное написание: в силу.
Правильно: сиди расслабленно.
Знаки препинания расставлены верно.
Тире не требуется.
Корректно: во Власихе.
Дуэт Сергея Иванова и Владимира Васильева исполнил песню... Ответ на вопрос о грамматических свойствах слова дуэт можно найти в материалах словарей, размещенных на нашем портале.