В школе при синтаксическом разборе предложения для выделения предлогов используются разные приемы. Предлог может подчеркиваться так же, как член предложения, к которому он относится. Например, в приведенном Вами предложении сочетание в продолжение времени является обстоятельством, его можно подчеркнуть тире с точками. Другой распространенный вариант – заключение предлогов в треугольник. Конечно, треугольник в данном случае получается весьма кривой.

Учительница права в том, что детей нужно учить сокращать слова. Но в то же время нужно учить пользоваться общеупотребительными графическими сокращениями, знать принципы сокращения слов. Так, приведенный Вами пример сокращения явно неудачен: такой способ сокращения, во-первых, не способствует экономии усилий пишущего (сокращение получается ненамного короче полного слова) и усилий читателя; во-вторых, такой способ сокращения в принципе неупотребителен.

Происхождение слова полено точно не установлено; ученые предполагают, что оно связано с древнерусским глаголом полети 'гореть' того же корня, что пылать, палить, пламя. Есть также версия (не разделяемая, впрочем, многими лингвистами, в т. ч. М. Фасмером), что полено происходит от пол 'половина', т. е. полено 'расколотое бревно'. Сейчас слово полено можно назвать словарным, проверяемым по орфографическому словарю.

Обороты с производными предлогами типа в соответствии с обычно обособляются, если находятся не в начале и не в конце предложения. Впрочем, это обособление факультативно. Если автор хочет сделать логическое ударение на сочетании в соответствии с законодательством, обособлять его не нужно. О правилах и закономерностях постановки знаков препинания при подобных оборотах см. «Справочник по пунктуации» на нашем портале.

Для постановки запятой между сказуемым вышла и обстоятельством цели вынести (так называемым целевым инфинитивом) нет оснований, поэтому правильно без нее: Вышла из дома в ночь вынести мусор. Впрочем, в условиях контекста сочетание вынести мусор можно счесть присоединительной конструкцией, которая содержит попутное замечание, дополнительную информацию; в таком случае ставится тире: Вышла из дома в ночь — вынести мусор.

Обстоятельство иногда в принципе может быть отнесено как к обеим частям, соединенным союзом да (здесь он имеет значение «и»), так и только к первой из них. Впрочем, во втором случае логично было бы ожидать в начале второй части какое-либо другое обстоятельство, например: Иногда над головой пролетала с пугливым кряканьем утка, да постоянно слышно было, как...

Приведенные предложения относятся к одному и тому же типу: это сложносочиненные предложения с союзом и. Соответственно, запятая нужна в том и в другом — по формальному принципу. Впрочем, предложение, в обоих частях которого описываются погодные явления, выглядит неестественно без общего для этих частей обстоятельства, отменяющего постановку запятой, сравним: К вечеру пошёл (сильный) дождь и поднялся (холодный) ветер. 

Действительно, высказывание лучше разделить на два предложения. Впрочем, возможно и оформление в одном предложении, в этом случае после сочетания а точнее, состоящего из союза и вводного слова, можно поставить тире для выражения неожиданного присоединения (такие нерегламентированные варианты постановки знаков в целом не противоречат принципам русской пунктуации): Я здесь всю неделю, а точнее — я буду здесь всю свою жизнь.

Слово задолженный (как и задолжанный) не зафиксировано нормативными словарями современного русского языка. Нормативно определение одолженный (от одолжить).

Впрочем, причастие задолжанный встречается в окказиональном употреблении, например: Если ты коварный обольститель моей невинности не отдашь задолжанные мною на мелочную лавочку деньги, которые по неопытности сердечной для тебя, скверная рожа, то я в полицию [Н. В. Гоголь Женитьба. Ранняя редакция].