Буква и пишется в существительных, производных от глаголов на -ать, где ударный а не сохраняется: обжиг, отжиг, розжиг, выжимка, побирушка.
Правильно: Республика Корея.
С разделительным твердым знаком пишутся слова иноязычного происхождения с начальными частями аб-, ад-, диз-, ин-, интер-, кон-, об-, суб-, которые в языке-источнике являются приставками, а в русском языке в качестве приставок обычно не выделяются. Объект — одно из таких слов.
У этой фразы нет устоявшегося переносного значения. Прямое значение слов Вы можете узнать, используя словари.
Запятая нужна.
Возможно употребление этого сочетания без кавычек.
Запятую после слов "с уважением" принято ставить.
Правильно: Квартет по ближневосточному урегулированию («Ближневосточный квартет»).
Да, в языке есть много устойчивых слов, выражений, названий, неправильных с точки зрения науки, политики, дипломатии... Традиция в языке часто оказывается сильнее терминологической точности. То же касается и названий государств: в обиходной устной и письменной речи мы по-прежнему употребляем названия Южная Корея (хотя в официальных документах будет только Республика Корея), Белоруссия (хотя официальное название Республика Беларусь), Молдавия (хотя официально: Республика Молдова) и т. д.
В качестве канцелярского оборота речи - правильно.
