Да, нормативно только такое ударение: неве́сть что.
Если авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение, то они начинаются с прописной буквы («Справочник по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя, примечание 2 к параграфу 48), поэтому корректно: «До встречи!» — Он погладил ее по волосам.
Оба варианта верны.
О сроке, периоде: с первого по шестое января.
Правильно: пособие по... (по безработице, по русскому языку...).
Употребляется. В словарях формы мн. ч. указываются, как правило, только в том случае, если они образованы нестандартно. При этом всегда поможет "Грамматический словарь" А. А. Зализняка.
Приведите, пожалуйста, контекст.
Имеется в виду село Нялинское? Или юрта (жилище): родился в юрте?
Предложение корректно.
