ПРИ ЭТОМ, союз и наречие

1. Союз. Синтаксические конструкции с союзом «при этом» выделяются знаками препинания, обычно запятыми.

Володя Яшкин, за ночь постаревший лет на двадцать и еще больше исхудавший, черный, со слезящимися, красными глазами, потряхивал головой, при этом все время что-то у него дребезжало в нагрудном кармане. В. Астафьев, Прокляты и убиты. Яковлев сел в кресло, закинул ногу на ногу, при этом обнаружились его красивые носки. В. Шукшин, Мнение.

2. Наречие. Не требует постановки знаков препинания.

Он при этом крякнул и махнул рукой. И. Гончаров, Обыкновенная история. «Какой он, однако ж, жалкий!» – заметила при этом Нюта Смущенская. М. Салтыков-Щедрин, Для детского возраста.

Дело в том, что тягость - отдельное слово, существительное.

ТЯГОСТЬ, -и; ж.
1.
к Тягостный. Т. налогов. Т. потери. Т. похода. Т. впечатления.
2.
То, что затрудняет, обременяет. Родителям дети не в т. Старик стал в т. родным. Какую т. ты взвалил на себя! Иной раз я сам себе становлюсь в т.
3. обычно мн.: тягости, -ей.
Трудности, затруднения. Претерпеть все тягости дороги. Пережить тягости войны. Не думай о возможных тягостях! Никакие тягости нас не остановят.
4. Устар.
Болезненное ощущение тяжести (в теле, голове)
при нездоровье, усталости. Т. в груди невыносимая. Т. в голове. Т. в руках, ногах - все кости ломит.

За глаголом остаться довольно часто следует глагол несовершенного вида. Вот несколько примеров.

Иван Иванович и я остались ждать в парке, а Клавдия Тихоновна отправилась искать Николая Владимировича, чтобы узнать о возможности устройства нашей судьбы. Д. Гранин, «Зубр». Сергей хотел сразу же уехать, но Павел Алексеевич попросил его остаться ночевать. Л. Улицкая, «Казус Кукоцкого». Старик помнил, что вроде бы все инструменты он продал в тяжелые времена ― но, видать, самые мелкие и тонкие остались ждать своего часа в углу за веником. Л. Петрушевская, «Маленькая волшебница».

Предложение Он всегда останется помочь построено корректно. Сочетание останется помогать также возможно, но не в данном предложении.

Бабачит – по-видимому, авторский неологизм О. Мандельштама (хотя не исключено, что в каких-то диалектах это слово может существовать). Если это неологизм, то поэту блестяще удалось создать слово, у которого нет однозначного «перевода» на русский язык, но налицо отрицательные коннотации. Это и близость по звучанию к глаголу бабахать ('издавать звуки, напоминающие грохот от выстрела, взрыва, падения, удара; бить, стучать, ударять'), и, возможно, намек на Бабая, которым пугают детей. Таким образом, слово бабачит выполняет сразу несколько функций – и выступает как противопоставление словам мяучит, хнычет (эти писклявые звуки издают полулюди, а Сталин – бабачет), и указывает на что-то неведомое, но злое и страшное, что исходит от Сталина.

Корректно написание со строчной буквы при употреблении сочетания как описательного оборота, например: На стенах рядом с портретами помещены 12 лепных медальонов, обрамленных позолоченными лавровыми венками, с названиями крупнейших сражений русской армии в 1812–1814 гг.; В плен сда­лась вся шведская ар­мия вме­сте с Ле­вен­га­уп­том. Сочетание Русская армия используется как название белогвардейских войск во время Гражданской войны 1917—1922 гг., например: Вскоре Крым стал бастионом Русской армии генерала Врангеля. Сочетание Русская армия встречается в контекстах, где ему приписывается особый высокий смысл, например: Вспомним вычеркнутые из отечественной истории подвиги Русской армии, тех, кто защищал нашу Родину.

Актуальные орфографические нормы отражаются в новейшем издании академического «Русского орфографического словаря» (на данный момент это 6-е издание, вышедшее в 2023 году) и в орфографическом академическом ресурсе «Академос». Словарем можно уверенно пользоваться на нашем портале, для этого наберите искомое слово в поисковой строке, выберите «Русский орфографический словарь» во всплывающем меню слева от поисковой строки и кликните справа от строки кнопку «Найти».

Об орфографической истории слова можно прочитать в комментарии к правилу о корне -зар-/-зор- в «Правилах русской орфографии и пунктуации» 1956 года (нужно навести курсор на звездочку в конце первого пункта параграфа 13). 

Прилагательное финский широко употребляется в русском языке в знач. 'относящийся к финнам, их языку, национальному характеру, образу жизни, культуре, а также к Финляндии, ее территории, внутреннему устройству, истории; такой, как у финнов, как в Финляндии': финский язык, финская баня, финский нож, финский дом, финские товары. Прилагательное финляндский существует, но встречается значительно реже и употребляется, как правило, в тех случаях, когда подчеркивается, что речь идет о государстве Финляндия, например: финляндское законодательство, Российско-финляндский культурный форум. Чаще это прилагательное встречается в официально-деловом языке, в живой речи оно не всегда будет уместно. Систему, работников и товары в живой речи лучше всё же было назвать финскими.

Да, все правильно. Это однокоренные слова.

Обратите внимание, что слово поколеньице словарями не фиксируется, но в речи оно используется: Интересно, а что же про нас в стихах напишут: что мы делали для потомков колючую проволоку? .. Ничего себе, поколеньице! Пусть лучше расскажут, как мы тут все сожгли! А. Приставкин, Кукушата, или Жалобная песнь для успокоения сердца. Еще в ряд однокоренных слов можно добавить устаревшее сейчас и потому редко употребляемое прилагательное поколенный. См.: Производят себе подобных, либо отделяя от себя зародышами, либо части, после целыми животными становящиеся, либо размножаются, разрастаясь наподобие ветвей поколенных. В. Зуев, Извлечения из учебника «Начертание естественной истории» (1785).

Отвечая на Ваш вопрос, можно назвать фамилии многих ученых, систематизировавших и излагавших правила правописания (каждый из которых в том или ином отношении был первым). Но всё-таки наиболее правильным будет назвать имя Якова Карловича Грота (1812–1893), автора капитального труда «Спорные вопросы русского правописания от Петра Великого доныне» (1873), в котором подробно изложена история русского письма и разобраны как с теоретической, так и с практической точки зрения все важнейшие стороны и затруднительные случаи правописания. С именем Я. К. Грота связано возникновение теории русской орфографии. Его справочник «Русское правописание» (1885) выдержал более 20 переизданий и до революции был главным справочным пособием по правописанию.

Нормативными словарями современного русского литературного языка этот неологизм еще не зафиксирован, однако он прекрасно встраивается в ряд слов типа вейкборди́ст, маунтинборди́ст, сейлборди́ст, скейтборди́ст, сноуборди́ст и широко используется в речи: – Замечательно, что в летний период к играм присоединились более 50 человек и впервые в истории игр в уборке мусора приняли участие сапбордисты, – подчеркнула координатор «Чистых игр» по Челябинской области Олеся Ефимова [Сергей Таран. В Челябинске взялись за очистку Изумрудного карьера // «Вечерний Челябинск», 10.06.2019]; Я сапбордист. Приобрела водный спортивный инвентарь — сапборд [https://dzen.ru/a/ZpQEREu9KX99ixWl].