Лучше: принять чью-либо сторону (в споре, конфликте).
Следует заключить в кавычки только слово петровские: Цикл выездных "петровских" уроков для школьников.
Такая формулировка некорректна, предложение следует перестроить. Например: Стажировка проводится в течение первых 2—14 рабочих смен (дней)...
Запятая не ставится. См. о таких случаях «Справочник по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя, примечание 1 к параграфу 48.
Возможен либо тот, либо другой парный знак.
Возможны оба варианта. Слитно следует писать, если имеется в виду "здесь мелко", раздельно — если нужно подчеркнуть отрицание.
Следует писать слитно: Пожалуйста, оставляйте здесь неподошедшие вещи.
Запятая не требуется, так как пусть относится к обеим частям предложения.
Тире не нужно.
Обособление не требуется, поскольку деепричастие имеет значение обстоятельства образа действия и частично утратило глагольное значение.