Области, края, округа – административно-территориальные единицы. Республики же в составе России – это национально-государственные образования (т. е. своего рода государства в государстве). Например, согласно Конституции России, республики вправе устанавливать свои государственные языки. Поэтому слова республика в составе названия республики пишется с большой буквы – на основании правила о написании с большой буквы всех слов в официальных названиях государств.
Да, нужно писать с большой буквы.
Трудности с определением родовой принадлежности возникают у нас только в том случае, если существительное несклоняемое. Не вызывает сомнения принадлежность слова Алтай к мужскому роду: это название склоняется как обычное имя существительное второго (по школьной грамматике) склонения типа чай, сарай и т. п., поэтому мы сразу определяем его как слово мужского рода (род существительного, являющегося родовым понятием, – республика – не имеет в данном случае никакого значения, ср.: Москва – существительное женского рода, хотя город – существительное мужского рода).
А вот в том случае, когда географическое название – несклоняемое существительное, его род (в большинстве случаев) определяется по грамматическому роду нарицательного существительного, выступающего в роли родового понятия. Коми, действительно, существительное женского рода (определяем по слову республика), правильно: Золотая Коми. Ср.: Капри – мужской род (остров), Дели – мужской род (город), но: Миссури – женский род (река).
Правильно: из всех районов.
Верен первый вариант.
Обратите внимание: Вы пишете слово Беларусь через о – Белорусь. Такого слова – Белорусь – не существует. Либо Беларусь (официальный вариант), либо Белоруссия (неофициальный вариант). Название Беларусь, разумеется, может употребляться без слова Республика – и в именительном падеже, и в косвенных.
Польская Народная Республика – официальное название польского государства до 1989 года. По общему правилу, в официальных названиях государств все слова, кроме служебных, пишутся с большой буквы.
Слово Республика в официальных названиях субъектов Российской Федерации пишется с прописной. Правильно: Республика Дагестан. Такова орфографическая норма.
В официальных документах и справочниках используется написание с дефисом: Центрально-Африканская Республика. Оно зафиксировано, в частности, в Общероссийском классификаторе стран мира (ОКСМ), утверждаемом Госстандартом России.
На ресурсе «Академос» действительно фиксируется слитное написание: Центральноафриканская Республика. Это отражает тенденцию к слитному написанию сложных прилагательных, образованных от географических названий.
В ответах и справках, где требуется строгое соответствие традиционной норме, можно использовать вариант с дефисом. В бытовом использовании и в большинстве современных текстов допустимо слитное написание Центральноафриканская Республика.
Непростой вопрос. С одной стороны, в исторических (не существующих в настоящее время) названиях государств с большой буквы пишутся первое слово и входящие в состав названия имена собственные: Французское королевство, Неаполитанское королевство, Королевство обеих Сицилий; Римская империя, Византийская империя, Российская империя; Новгородская республика, Венецианская республика; Древнерусское государство, Великое государство Ляо и т. д.
С другой стороны, в названии Союз Советских Социалистических Республик все слова пишутся с большой буквы, хотя этого государства тоже уже не существует. Сохраняются прописные буквы и в названиях союзных республик, в исторических названиях стран соцлагеря: Польская Народная Республика, Народная Республика Болгария и т. д.
Историческая дистанция, безусловно, является здесь одним из ключевых факторов. Должно пройти какое-то время (не два–три десятилетия, а гораздо больше), для того чтобы появились основания писать Союз советских социалистических республик по аналогии с Российская империя.
Историческая дистанция вроде бы позволяет писать в приведенных Вами названиях государственных образований с большой буквы только первое слово (эти образования существовали непродолжительное время и исчезли уже почти 100 лет назад). Но, с другой стороны, прописная буква в каждом слове названия подчеркивает тот факт, что эти сочетания в свое время были официальными названиями государств (или претендовали на такой статус). Если автору текста важно обратить на это внимания читателя, он вправе оставить прописные буквы (даже несмотря на то, что таких государственных образований давно уже нет на карте).
