Корректно написание с заглавной буквы, так как это закрепившееся название территориальной единицы. См. словарную фиксацию. Подробнее о подобных названиях можно прочитать в правилах употребления прописных и строчных букв в географических и административно-территориальных названиях. 

Выражение растекаться мыслию по древу - из "Слова о полку Игореве". Существует версия, что слово мысль должно читаться как мысь - в псковских говорах белка. Следовательно, поэтический сказ уподобляется быстрому бегу белки по дереву. Но этой версии противоречит то, что слово мысь в древнерусских памятниках не встречается. Поэтому скорее всего слово мысль выступает в своем прямом значении, и выражение растекаться мыслию по древу следует понимать как "растекаться творческим воображением".

Слово театр-студия фиксируется словарями как отдельная лексическая единица, функционирующая как самостоятельное слово. Однако в этой единице сохраняется изменяемость обоих элементов, а следовательно, она занимает промежуточное положение между производным словом и подчинительным словосочетанием, включающим определяемый (театр) и определяющий (студия) компонент. Как производное слово театр-студия должно рассматриваться как сложение, однако следует понимать, что у большинства сложносоставных слов есть существенные словообразовательные и морфологические отличия от классических сложений типа паровоз (две основы и соединительная гласная).

Корректно: Петропавловский собор. Правило, о котором Вы пишете, к сожалению не вполне отражает закономерности, действующие в области написания сложных прилагательных. Уточненные правила можно прочитать в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря», см. параграфы 47–51.

Это двусоставные неполные предложения. О способах выражения главного члена односоставных личных предложений и о семантике таких предложений можно прочитать в учебных пособиях для школьников и студентов, в частности в учебнике Е. И. Литневской на нашем портале. 

Будь что будет без запятой, потому что является неразложимым сочетанием. О запятой перед что можно прочитать в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации» в разделах о придаточных предложениях и сравнительных оборотах.

В форме объяснять основа объясня- и формообразующий суффикс ть. Основа членится на приставку, корень и суффикс: объ/ясн/я-.

О принципах морфемного разбора можно прочитать в учебнике Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников». 

Глагол ожёг (инфинитив ожечь) образуется приставочным способом.

Если вы спрашиваете о существительном ожог, то этот способ называют бессуффиксным, безаффиксным или нулевой суффиксацией. Прочитать о нем можно в пособии Е. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников».

Все верно. Запятая между союзом а и вводным сочетанием чаще не ставится, и в Вашем предложении она тоже не нужна. Подробнее об обособлении вводных слов, стоящих после союза, можно прочитать в «Справочнике по пунктуации» (см. раздел 3).

При подлежащем – количественном сочетании со значением приблизительности предпочтительна форма единственного числа сказуемого: в профиле представленО более 20 работ. Однако это не строгое правило, а рекомендация. 
Здесь вы можете подробнее прочитать о единственном и множественном числе сказуемого.