В этом предложении запятыми разделяются однородные сказуемые: Старец Зосима был лет шестидесяти пяти, происходил из помещиков, когда-то в самой ранней юности был военным и служил на Кавказе обер-офицером.

Корректно: Он служил в ЦАХАЛе.

В официально-деловой речи такая формулировка вполне корректна.

Через дефис может писаться не только одно слово, но и сочетание слов. Это могут быть сочетания с приложениями (город-герой, студент-первокурсник, программа-открывашка), сочетания-повторы (умница-разумница), сложные термины (альфа-частица) и др. Бывают очень разные случаи, единого правила для всех не существует. Подробнее можно посмотреть в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина. Правда, вопрос о применении в таких сочетаниях кавычек там не рассматривается. Скорее всего, Вы правы, и в первых приведенных Вами примерах (мальчик-«умница», программа-«открывашка») лучше закавычить всё словосочетание. Что касается третьего (экс-«Интеграл»), то надо разбираться, что имеется в виду, и решать вопрос о кавычках в зависимости от смысла (к чему относится приставка экс, что такое Интеграл и т. д.).

Корректно: (130 ± 0,5) числа Роквелла.

Ошибкой такое произношение не является, хотя некоторое излишество в нем есть.

Запятая нужна перед союзом и, она отделяет части сложного предложения.

Перед союзом и запятая не нужна, потому что он соединяет однородные сказуемые уходит и машет; запятая после союза нужна для обособления деепричастия оглянувшись: Минуло Прощёное воскресенье, отгорела ранняя и широкая Масленица, и Прибериха уходит и, оглянувшись, машет, как этот последний блин-арлекин.

Верно: поставить диагноз, постановка диагноза. Установить можно причину, наличие, отсутствие чего-либо, зависимость чего-либо от чего-либо и т. д.

Конечно, они могут считаться однородными главными членами определенно-личного предложения. В односоставных предложениях любые члены могут быть однородными так же, как и в двусоставных.