Пишется через дефис: тату-мастер, тату-салон.
1. Оба варианта возможны.
2. В чем вопрос?
В деловой речи устоялась первая из указанных Вами моделей. Однако она двусмысленна, поэтому в реквизитах деловых документов желательно название должности и организации помещать на разных строчках, а в текстах избегать подобных конструкций.
Верно: тартар.
Тату – несклоняемое существительное среднего рода: такое новое тату.
Запятая не требуется.