В случае с "доминиканским орденом" принято использовать строчные буквы, даже если слово "доминиканский" воспринимается как часть названия. Согласно правилам русского языка, названия религиозных орденов пишутся со строчной буквы, если не являются именем собственным или специально выделяются в текстах официального характера (например, как титул или в контекстах, требующих официального упоминания). Это распространяется на орден "доминиканский", который пишется строчными буквами в обычных контекстах. Прилагательное "доминиканский" обозначает тип религиозного ордена в ряду других (францисканский орден и т. д.). 

мандат Неба / небесный мандат

Для корректного написания термина из китайской политической философии рекомендуется использовать форму «мандат Неба» с прописной буквой в слове «Неба» и строчной в слове «мандат». Такой вариант является наиболее распространённым и общепринятым в научной и публицистической литературе по теме. Вариант «небесный мандат» (оба слова со строчной) также встречается, особенно в более общем, описательном контексте, но он менее точен с точки зрения традиционного понимания концепции и может восприниматься как обычное словосочетание, а не термин.

Слово «карелы» является корректным и общепринятым для обозначения коренного финно-угорского народа, проживающего в Республике Карелия и некоторых других регионах России. Слово «карельцы» не является этнонимом, оно иногда используется в разговорном русском языке для обозначения всех жителей Республики Карелия, вне зависимости от их этнической принадлежности. С точки зрения этнографии и официальной терминологии, «карелы» — это именно коренной народ, а «карельцы» — более широкое, неофициальное обозначение жителей региона, включая представителей разных национальностей, проживающих в Карелии.