Во фразе «дайте чайку», «подайте чайку» слово «чайку» стоит в дательном падеже.

Товарищ генерал, подайте чайку. С сахаром и со снотворным!
подайте чайку, без сахара. пожайлуста быстро!!!
кто нибудь кружку уже получил дайте чайку попить
а дайте чайку, а накормите булочками
Дайте чайку испить
...

кто, что? - чаёк (именительный)
кого, чего? - чайка (родительный)
кому, чему? - чайку (дательный)
кого, что? - чаёк (винительный)
кем, чем? - чайком (творительный)
о ком, о чём? - о чайке (предложный)
где? - в чайке

Фраза "подайте [мне] мне ... кого (собаку) ... дайте мне что (чаёк) ..." несёт смысл, а "дайте [мне] кому? чему?" — нет.

1) Почему используется именно дательный падеж, я не "подайте чаёк"? Ведь обе фразы верные?
2,910 www.google.com/search?q="дайте+чайку"
132 www.google.com/search?q="дайте+чаёк"

2) «Дайте чайка», «дайте чая» — это неверно?

3) Как грамматически истолковать конструкцию "кому, чему" в контексте дательного падежа?