У Нью-Йорка есть прозвище – "Большое яблоко". Словарной фиксации этого выражения нет. По общему правилу в образных названиях государств и городов с прописной буквы пишется первое слово (которое может быть единственным), а также (если они есть) собственные имена. Поэтому корректно: "Большое яблоко" или Город большого яблока (ср. с другим известным названием Нью-Йорка – Город желтого дьявола). Интересна история возникновения этого ...

...У Нью-Йорка есть прозвище – "Большое яблоко...

...Город большого яблока...

Дело в шляпе (прост., часто шутл.) – кончено, решено, улажено, всё в порядке, всё удачно закончилось. Есть несколько версий происхождения оборота. По одной из них, выражение восходит к старинному обычаю решать всякие спорные дела жеребьёвкой: в шляпу бросали монеты, кусочки свинца или другие мелкие предметы, из которых один был с меткой. Каждый из участников жеребьевки брал по одному предмету из шляпы, надеясь на то, что дело будет решено в его пользу. 

...Дело в шляпе (прост., часто шутл.) ...

...Дело в шляпе ...