Обстоятельственные члены предложения, имеющие в своем составе производные предлоги и предложные сочетания (благодаря, вопреки, ввиду, в целях, в связи с, во избежание, вследствие, по случаю, по причине, при наличии, согласно с, в отличие от, в противоположность, наподобие, при условии, в силу, за отсутствием, несмотря на, невзирая на, спустя, независимо от и др.), обособляются при подчеркивании их смысла (см. § 75 «Правил русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).

Правилен первый вариант: возложить (контроль) на кого. Сравним: поручить (что) кому.

В этом предложении нет обращения. Правильная пунктуация такова: В связи с производственной необходимостью прошу Вас поручить мне,  секретарю Ивановой Л. Л., дополнительную работу.

Сочетание неудачно. Возложить можно руководство, обязанности, то есть поручить кому-то что-то. 

Слова скорее всего обособляются как вводные.

Верно: дать поручение (=поручить); издать поручение (=опубликовать). 

Запятая перед "прошу" ставится, как и перед словом "подведомственных". 

Правильно раздельное написание (т. к. у причастия есть зависимые слова): не обратившимся. Сочетание отработать контроль нуждается в замене.

Правильно: завтра моя смена. Фамилия Чурило не склоняется.