Варианты различаются по значению. Д. Э. Розенталь в справочнике «Управление в русском языке» указывает: помнить кого-что 'сохранять в памяти в полном объеме'; помнить о ком-чем 'в общем виде, без подробностей'. Поэтому лучше, пожалуй: помнит Вас.

Здесь необходимы ещё две запятые: Вас любим, и помним, и ценим, скорбя. В параграфе 26 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина указано: «При отсутствии союза и перед первым из перечисляющихся членов предложения соблюдается правило: если однородных членов предложения больше двух и союз и повторяется хотя бы дважды, запятая ставится между всеми однородными членами (в том числе и перед первым и)».

Слова из песни на стихи Е. Винокурова: «Но помнит мир спасенный...»

Поскольку фраза носит разговорный характер, то для нее нет "правильного" варианта согласования.

Тире не требуется, однако оно может иметь интонационный характер. 

Тире здесь возможно как интонационный знак. Но и без него вполне можно обойтись: где-то всегда лето.

Верно: стесняться кого-чего. Глагол требует родительного падежа: стеснялась Вики.

Запятая не нужна.