Словари
ПОД ПРЕДЛО́ГОМ, предл. с род.
● Употр. при указании на явление, событие и т. п., к-рые предъявляются в качестве причины (часто мнимой) действия. Син. под ви́дом, <сосла́вшись на>. Он ушёл под предлогом плохого самочувствия. || Морф. под предло́г=ом. Дер. сз. под предлогом [того́] что (См.), под тем предло́гом что – . От предл. под (См.) и сущ. предло́г1 (См.).
Ответы справочной службы
Членом предложения является предложно-падежная форма целиком (в лесу), так что подчеркивать нужно и предлоги (хотя это и не принципиально). Возможно, учителя хотят подчеркнуть, что служебные части речи (предлоги) не являются членами предложения сами по себе.
Справочники
ПОД ПРЕДЛОГОМ (чего), предлог Обороты, присоединяемые предлогом «под предлогом», могут обособляться. О факторах, влияющих на расстановку знаков препинания, см. в Прил. 1. Она под предлогом головной боли рано ушла в свою комнату. И. Гончаров, Обыкновенная история. В К. его задержал смотритель под предлогом неимения лошадей, но, в сущности, по уговору, который он сделал давно с содержателем гостиницы, – задерживать на день всех проезжающих.
...ПОД ПРЕДЛОГОМ (чего), предлог Обороты, присоединяемые...
...предлогом «под предлогом», могут обособляться...
...Она под предлогом головной боли рано ушла...
ПОД ПРЕДЛОГОМ ТОГО, ЧТО / ПОД ТЕМ ПРЕДЛОГОМ, ЧТО, союз Придаточные предложения, присоединяемые союзом «под предлогом того, что», «под тем предлогом, что», выделяются (или отделяются) запятыми. При этом первая запятая обычно ставится не перед союзом, а между его частями (перед словом «что»). Так как все еще продолжались его давние споры с монастырем и все еще тянулась тяжба о поземельной границе их владений, о каких-то правах рубки в лесу и рыбной ловли в ...
...ПОД ПРЕДЛОГОМ ТОГО, ЧТО / ПОД ТЕМ ПРЕДЛОГОМ, ЧТО, союз...
...Придаточные предложения, присоединяемые союзом «под...
...предлогом того, что», «под тем предлогом...
Пунктуация в конструкциях с составными подчинительными союзами Придаточная часть в сложноподчиненном предложении может присоединяться к главной с помощью составных подчинительных союзов, например: ввиду того что, вместо того чтобы, в случае если, несмотря на то что, перед тем как, потому что, прежде чем и др. Пунктуационная трудность заключается в том, что такие союзы могут целиком входить в придаточную часть (в этом случае части союза не разделяются запятой) или же расчленяться (в ...
...что; независимо от того, что; под видом того, что; под...
...предлогом того, что; под тем предлогом, что; по поводу...
