См. в Горячей десятке вопросов.
Правильно строчными: лунный календарь, восточный гороскоп.
Да, календарь, подаренный на Новый год, можно назвать новогодним. Слово "новогодний" относится ко всему, что связано с празднованием Нового года.
Такой вариант пунктуационного оформления предложения возможен.
Мы бы выбрали второй вариант.
Правильно: отмечено. Седьмое апреля – это седьмое число месяца апреля. Поэтому согласование по среднему роду (число отмечено).
Правильно со строчной: григорианский календарь, юлианский календарь.
Раздельное написание допускается, если тем самым подчеркивается отрицание (в знач "отнюдь не обычный).