В этой формулировке запятая нужна. Но мы рекомендуем перестроить предложение. Возможный вариант: Департамент рассмотрел обращение и сообщает следующее.
Оба варианта возможны.
Это сложносочиненное предложение, и запятая нужна.
Корректно: Рассмотрев обращения № 5/Ш26 и 6/Ш26 от 3.07.2024, №9/Ш26 от 5.07.2024, сообщаем следующее.
Правильно: ГКУ «Дирекция...» рассмотрело и ГКУ «Дирекция...» рассмотрено.
Следует поставить двоеточие.
Правильно: филиал... рассмотрел.
Название "Вектор" следует заключить в кавычки. Запятые расставлены верно.
Верно в единственном числе: рассмотрен ряд предложений.
Оба варианта пунктуационно корректны. В личных письмах принято после обращения ставить восклицательный знак.