Слово республика пишется с большой буквы, если оно входит в состав официальных названий государств: Китайская Народная Республика. В исторических названиях это слово пишется со строчной буквы, если оно не начинает собой название: Венецианская республика, Новгородская республика.

Названия республик женского рода обычно склоняются в сочетании со словом республика: из Республики Армении. Но в официальных текстах часто можно увидеть несклоняемый вариант.

Названия республик мужского рода несклоняемы в функции приложения. Верно: из Республики Маврикий.

Слово республика пишется с большой буквы, слово Карелия склоняется: ...в республике Карелии.

Корректно: ...делегация Республики Болгарии.

Верно: в Республике Ингушетия.

В нормативных документах принято: в Республике Бурятия.

Официально: в Республике Беларусь, при неофициальном употреблении: в Белоруссии.

Словарные рекомендации противоречат друг другу.

В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой (М., 2010) указано, что официальные названия республик обычно согласуются со словом республика (т. е. склоняются), если оканчиваются на -ия, -ея (в Республике Болгарии, с Республикой Индией), и не согласуются, если оканчиваются на -а или имеют форму мужского рода (в Республике Куба, из Республики Панама, в Республике Вьетнам).

В то же время в «Словаре географических названий» А. В. Суперанской говорится, что в сочетании со словом республика названия республик женского рода обычно склоняются (независимо от окончания): в Республике Колумбии, из Республики Кубы. А вот названия республик мужского рода несклоняемы в функции приложения (здесь противоречия между справочниками нет): из Республики Нигер.

Впрочем, в официальных документах все названия республик, выступающие в роли приложения, часто остаются несклоняемыми.

Слово Беларусь в этом сочетании не склоняется: я живу в Республике Беларусь.