Корректно: Во второй половине XVIII — XIX веке.
Верно: учусь во вторую смену.
Как ответ на вопрос "когда?" - на второй день форума.
Правильно: (учиться, преподавать) на каком-либо отделении.
Все эти варианты используются.
Вторый — церковнославянская форма порядкового числительного. В современном церковнославянском языке она по-прежнему такова.