вылёживать(ся), -аю(сь), -ает(ся)
вылуживать(ся), -аю, -ает(ся)
Ответы справочной службы
Вы можете выбрать любой вариант. Дело в том, что оба слова относятся к индивидуальной, авторской речи и не подлежат нормативной словарной фиксации. Поэтому "правильным" тот или иной вариант слова назвать трудно.
Если в тексте последовательно используется буква ё, то корректно писать антислёживающий. Если буква ё не используется (заменяется на е), то нужно написать антислеживающий. Произношение слова от написания не зависит. Правила употребления буквы ё см., например, здесь.
Справочники
Ходить на задних лапах (лапках) (презр.) - холопски угождать, выслуживаться, угодничать перед кем-либо (обычно перед «нужными» людьми). Выражение - один из многих фразеологизмов русского языка, связанных с собакой. Восходит к басне Крылова «Две собаки». Переносное значение оборота вытекает из сюжета басни, в которой собака, угождающая хозяину, получает от него гораздо большую любовь и блага, чем верный сторожевой пёс, несущий трудную службу.
...Ходить на задних лапах (лапках) (презр.) - холопски...
Журнал
Нередко в практике телевидения и радиовещания возникает ситуация, которую наблюдал каждый из нас. Выступает крупный в своей области знания ученый, касается весьма важной темы — мало нам знакомых, но существенных научных проблем, только еще складывающейся теории и вытекающих из нее поразительных по значимости возможностей. Выступление необыкновенно интересно. Но стоит нам уловить в его речи произношение «беспрецеНдентный», где первый звук «н» явно лишний; или «изобрЕтенный недавно прибор» (вместо «изобретённый»); или «это играет большое значение» (вместо «имеет большое значение»), как мы отчетливо чувствуем, что наше увлечение передачей рассеивается, угасает, что мы уже отвлеклись от главной мысли, а то и просто потеряли ее. Причина заключается в том, что выступающий не в полной мере владеет литературным языком. Тогда как в публичной речи это абсолютно необходимо.
...Нередко в практике телевидения и радиовещания возникает...
...Основная черта литературного языка — общепринятость...