Верно: молоть кофе - мелю кофе.
В подобных случаях название института следует писать в кавычках и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт серпа и молота», директор Учреждения РАН «Институт серпа и молота».
Выбор предлога зависит от контекста. Примеры см. в словарях.
Верно: тысяче богов, тысячам богов.
Воспользуйтесь большим толковым словарём на нашем портале.
Извините, ваш вопрос непонятен.
Оба варианта верны.