Первое слово стилистически нейтральное, второе — разговорное.
Под гору означает спускаться. Под гору – вниз, в гору – наверх.
Подыматься – разговорное слово. В живой устной речи его использование возможно, но на письме (тем более в официальных документах) это слово употреблять не следует.
Употребительно: подняться на лифте, воспользоваться лифтом. Но: курить в лифте.
По основному правилу тире не требуется.
Словари фиксируют и такое значение слова подворотня: "проем в стене дома для проезда, прохода во двор" (разг).
Поравнявшись с своим домом, он кивнул головой Лебезятникову и повернул в подворотню. Достоевский, Преступление и наказание.
В подворотнях, в глубоких арках под домами упрямо держится зыбкий сумрак, забивается подальше во дворы. Тендряков, Свидание с Нефертити.
