Двоеточие ставится: слово как обобщающее по отношению к ряду однородных обстоятельств. При этом нет оснований ставить точку с запятой между парами обстоятельств, связанных союзом или: ...с открытым сердцем или с закрытой душой, с надеждой или с отчаянием.

Согласно традиционным справочникам ошибка в такой формулировке есть. Обобщающее слово и ряд однородных членов должны согласовываться в падеже: …следующие подходы к изучению метафоры: сравнительную теорию, эмоциональную теорию, теорию замещения. Частотность подобной ошибки, вероятно, объясняется тем, что в документах официально-делового стиля ради сугубой точности, во избежание искажений смысла, такие элементы (например, фамилии или названия) требовалось указывать в именительном падеже, например: ...в следующих городах Эстонии: Таллин, Выру, Нарва, Тарту.

Лучше оформить это предложение как содержащее вставку: Это показывает, как стремление к красоте (садам, цветам) может стать движущей силой и целью жизни.

А где вы увидели сложное предложение? Где здесь придаточные? Предложение Книга стоит 1 руб. и еще половину своей стоимости — простое, никаких ошибок в нем нет.

Другое дело то, что это задача-ловушка, задача на внимание, которая поначалу вызывает впечатление, будто в условии недостает данных. Однако задача элементарно решается уравнением х = 1 + 0,5 х, из которого следует, что х = 2.

Приведенное Вами предложение, увы, грешит невнятностью — невозможно понять, к чему относится конструкция сады, цветы.

Обобщающим в данном случае могло бы быть слово семья (Ребенок любит отца и мать, брата и сестру — свою семью). Существительное дом имеет в том числе и значение 'семья, люди, живущие вместе, одним хозяйством', однако употребление его в этом значении ограничено немногочисленными сочетаниями типа дружить домами. Вне подобных сочетаний слово дом употребляется в значении 'семья' только по отношению к царствующей династии (дом Романовых).

Корректно: проблема утечки газа. Форма единственного числа существительных нередко используется в значении множественного: например, в случаях, когда существительное имеет обобщающее значение.

В первом примере при однородных членах (повторяющемся слове шум) есть зависимые слова, что требует запятой при союзе и..., и...; формальный фактор дополняется семантическим: подчеркивается отдельность явлений. Во втором примере отсутствие запятой подчеркивает тесное смысловое единство: и днем и ночью = «всегда»; здесь правило допускает и вариант с запятой, если требуется подчеркнуть сопоставление: и днем, и ночью (= «как днем, так и ночью»).

Между глаголом в личной форме и примыкающими к нему инфинитивами никакие знаки препинания не требуются: Но не забывают они потолкаться, побороться, поспорить. Обобщающее слово должно быть в той же форме, что и однородные члены предложения, образующие перечислительный ряд, например: Но не забывают они пообщаться: потолкаться, побороться, поспорить.

В случаях, когда слова используются не для обозначения объектов действительности, а в качестве языковых примеров, они, по сути, являются несогласованными приложениями к существительному слово: Необходимо сделать фонетический анализ слов: слова «молоко», слова «ночь», слова «карандаш». При этом, конечно, многократное повторение слова слово в речи избыточно.