Выбор предлога зависит от того, в каком значении использовано это наименование. Если Гибралтар — территория, то правильно на Гибралтаре (От Рима до Майами с остановками в Марокко, на Гибралтаре, Канарских островах, Кубе и Доминиканской Республике. [Мария Киселева. Королевские забавы. Граф переплыл Атлантику на мотоцикле (2002) // «Известия», 24.06.2002]); если же Гибралтар — Гибралтарский пролив, то правильно в Гибралтаре (Здесь же, в Гибралтаре, была написана еще одна, на этот раз уже «лихая» матросская песенка «Моряк, покрепче вяжи узлы» [Александр Городницкий. «И жить еще надежде» (2001)]). 

Такое употребление некорректно. Верно: ругается матом, матерно, использует мат в речи и т. д.

Нет, слово заяц в значении «безбилетник» не требуется заключать в кавычки. Это значение давно уже не является новым, непривычным.

Правильно: тем, кто интересуется марками.

Слово татами может употребляться как существительное мужского и среднего рода.

Послушайте выпуск передачи "Русский устный", посвященный этому слову: http://gramota.ru/slovari/radiosafonova/#%C7

См. в "Письмовнике".

Корректно: Крикнул на татами «Хаджиме!» судья.