Нет, так сказать нельзя. Возможный вариант: выздоровление наступит в два раза быстрее.
Проверочное слово для существительного выздоровление - здорОв, здорОвый. А вот в слове выздорАвливать (с суффиксом ИВА) ударное А пишется в соответствии с произношением, это регулярное чередование. Ср.: тОчить - обтАчивать, смОтреть - осмАтривать и др.
Названные слова не являются синонимами, поскольку не имеют совпадающих или близких значений, хотя объединяются тематически. Исцеление обозначает процесс (выздоровление, восстановление сил, в частности; см. толкование глагола исцелить), слово лекарство обозначает средство, с помощью которого происходит процесс исцеления.
Большой толковый словарь
Правильно: по выздоровлении (=после выздоровления).
Вводное слово, стоящее в начале второй части сложного предложения, не отделяется запятой от этой части: Пациенты сами могут сделать многое для своего выздоровления, в частности они для этого должны делать то, то и это.
Если есть общие слова, запятая между частями сложносочиненного предложения не ставится. Но здесь перед нами простое предложение с однородными сказуемыми. Запятая не нужна.
Буквально - "выздоравливающие". Это больные в стадии выздоровления.
Запятая нужна.