Первый вариант стилистически нейтральный, второй уместен в народно-поэтической речи.
Вариант ходить за водой стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи.
Вариант за водой общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи.
Вариант за водой общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи.
Вариант сходить за водой стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи. По хлеб – неправильно.
Вариант за водой, за грибами общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант по воду, по грибы уместен в разговорной, в народно-поэтической речи.
Вас напрасно поправляют. Вариант пойти за водой, за грибами и т. д. общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант пойти по воду, по грибы уместен в разговорной, в народно-поэтической речи.