Оба варианта корректны.
ЗАЯВЛЕНИЕ [просьба о чем-л., изложенная письменно в официальной форме] о чём / на что. Рагозин написал заявление в две строки о том, чтобы его перевели на военную работу (Фед.); Подать заявление на развод (влияние глагола подать, ср. разг. подать на развод).
Да, слово развод должно быть как-то выделено в этом предложении (кавычками, курсивом или каким-либо иным способом).
Если это предложение целиком, то запятая не требуется: Развод как Новый год.
В этом названии запятая не требуется.
Пишется слитно: высококонфликтный.
Да, тире после запятой необходимо для выделения приложения.
Верно: 364 брака, 364 развода.
Сочетание разводка мостов допустимо в разговорной речи. Стилистически нейтральный вариант: разведение мостов.
Возможны оба варианта, чаще употребляется первый.
Если без кавычек это слово может быть непонятно читателю, то кавычки следует поставить.