Корректное название школьной медали - "За особые успехи в учении".
В данном случае ставится запятая.
Словарная рекомендация - с предлогом для (о приспособлении для держания чего-либо) и без предлога (о лице, владеющем ценными бумагами).
Верно: базироваться в Бресте (в знач. "размещаться, дислоцироваться").
Постановка запятой не обязательна в этом случае.
В обоих случаях обособляется определительный оборот, стоящий после определяемого слова.
В определенном контексте такое сочетание возможно. Но если слово осадок используется в значении "тяжелое, неприятное чувство", то такое употребление некорректно, верно: оставляет осадок.
Если имеется в виду "не надейся укротить", то запятая после мни не нужна.
Обороты с предлогом в связи могут обособляться, но чаще в середине предложения (подробнее см. в "Справочнике по пунктуации"). Обстоятельство по вашим пожеланиям не обособляется. Таким образом, указанная запятая не нужна.
Верно только с предлогом: в дополнение к вышесказанному.