Оба глагола можно использовать в данном значении – кладу и укладываю.
Орфографически верно: площадь Борцов за Власть Советов (если это официальное название площади). Не пишется с большой буквы только служебное слово (предлог) за.
Это краткое прилагательное.
Во всех случаях правильно класть.