Оба глагола можно использовать в данном значении – кладу и укладываю.
Класть — общеупотребимое слово.
Второго указанного Вами слова в литературном языке не существует, использовать его — ошибка.
Это краткое прилагательное.
См. в «Искать на Грамоте».