Орфографическим правилам соответствует написание со строчной буквы: администрация г. Ростова-на-Дону. Однако в деловой сфере сложилась традиция писать наименования органов исполнительной власти субъектов Российской Федерации так, как в их конституциях или уставах. В уставе Ростова-на-Дону зафиксировано написание Администрация города Ростова-на-Дону. 

Название компании «Роснефть» заключается в кавычки. Без кавычек пишутся сложносокращенные названия – краткие наименования органов законодательной и исполнительной власти (министерств, федеральных агентств, федеральных служб, комитетов и др.), например: Госдума, Мосгордума, Рособрнадзор, Росмолодежь, Россотрудничество. Сложносокращенные названия компаний обычно заключаются в кавычки.

Контекст недостаточен для однозначного ответа. Сравним предположительно достроенное нами до полной структуры предложение: Власти решили определить школу органом, ответственным за обучение, родителей — пользователями услуги. Впрочем, возможно, в Вашем случае контекст иного рода и требует иной постановки знаков препинания.

Правильно: легкоатлеты. Ударение на А не соответствует литературной норме; по-видимому, для спортсменов такое «профессиональное» ударение – своего рода признак принадлежности к определенной, «своей» среде, то же, что наркомания (вместо наркомания) для медиков и дело возбуждено (вместо возбуждено) для сотрудников правоохранительных органов.

Это действительно так: в официальные документы органов государственной власти проникло безграмотное написание. В. В. Лопатин, ответственный редактор «Русского орфографического словаря» и председатель Орфографической комиссии РАН, говорит об этом так: «У нас появилась Лимпиада». К сожалению, лингвисты здесь уже вряд ли могут что-то поделать.

Правильно: Кабинет министров. Это написание соответствует правилам и закреплено академическим «Русским орфографическим словарем» с 1999 года (см. издание 2023 года). При этом в официальных документах названия органов власти субъектов РФ пишут в соответствии с конституциями (уставами) этих субъектов, например: Кабинет Министров Республики Татарстан.

При официальном употреблении (например, в текстах официальных документов) правильно: Администрация Президента Российской Федерации. Ср. в Положении об Администрации Президента Российской Федерации: «Администрация Президента Российской Федерации является государственным органом...»

При неофициальном употреблении правильно написание строчными. Например, в газетной статье: В администрации президента заявили...

1. Всероссийский пишется с прописной буквы как первое слово в названиях обществ, учреждений, органов власти, партий, праздников, общественных мероприятий и т. п., например: Всероссийский конкурс на звание «лучший учитель года», Всероссийская федерация волейбола, Всероссийский центральный исполнительный комитет.

2. Опечатки в словах Олимпийских и всероссийских, остальное верно.

Названия орденов, медалей, наград, знаков отличия, не сочетающиеся синтаксически с родовым наименованием, заключаются в кавычки; названия, сочетающиеся синтаксически с родовым наименованием, пишутся без кавычек. Правильно: медаль «Золотая Звезда», награжден медалью «Золотая Звезда»; орден Красной Звезды, награжден орденом Красной Звезды.

Правильно: Герой Советского Союза, Герой Российской Федерации.